RISET OPERASI (Penyelesaian Analitis persoalan Optimasi)

Penyelesaian Analitis Persoalan Optimasi

Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan terbaik (maksimum dan minimum) dan cara penentuan solusi yang memuaskan. Macam-macam penyelesaian analitis persoalan optimasi, adalah :

1.      Optimasi tanpa kendala

Bentuk umum à Min f(x)

f(x) adalah fungsi skalar yang didefinisikan pada ruang vektor x Î Rn

Penyelesaian dari persoalan diatas dapat dicari dengan cara sbb:

bila x* adalah titik minimum maka Ñf(x*) = 0

bila H(x*) adalah positif definitif maka x* yang memenuhi syarat Ñf(x*) = 0 maka titik minimum

Contoh  :

 

            Penyelesaian 

                              

yang merupakan calon (kandidat) penyelesaian dari persoalan

H (x*) =  

 adalah positif definitif 

Þ  adalah titik minimum, dengan 

     Z = 3x₁² + 2x₂² + 4x₁x₂ – 6x₁ -8x₂ + 6

                      = 3(-1)² + 2(3)² + 4(-1)(3) – 6(-1) – 8(3) + 6

                = -3

2.    >  Optimasi Dengan Kendala Persamaan

Bentuk umum :

            Min f(x)

            st         h_i(x) = 0; i = 1, 2, 3,…, n

            [st : subject to ( dengan syarat ) ® kendala]

Contoh :

 

 tidak memenuhi h(x) = 0 

Jadi        bukan penyelesaian persoalan diatas

           

x* adalah penyelesaian dari persoalan diatas Þ x* Î A

dimana = { x½ h(x) = 0 }

A adalah himpunan titik–titik vektor x yang memenuhi semua kendala

Þ A disebut daerah layak dari persoalan tersebut atau  Feasible Region

x* adalah penyelesaian dari  Û x* Î A = { x ½h(x) = 0}

                             dan  f(x*) £ f(x)  " x Î A

Untuk menyelesaikan persoalan optimasi dengan kendala persamaan dipergunakan fungsi lagrange :

Dengan ini persoalan optimasi dapat diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala dalam bentuk :

            Min L ( x , l )

            ( x*, l* ) à penyelesaian dari L ( x ,l ) Þ Ñ L ( x*,l* ) = 0

Contoh :

                 Penyelesaian :

Calon penyelesaiannya adalah x* =

Bila L(x,l) adalah konveks maka x* à titik minimum yg dicari

f(x*) adalah konveks karena H(x) positif definitif

h(x*) adalah konveks karena linear

L ( x*, l* )  = f(x*) + l* h(x*) + 4h(x*)

                                     = konveks + konveks = konveks 

                          Jadi x* =                  

                               à Titik penyelesaian

3.      > Optimasi dengan Kendala Pertidaksamaan  

     Memiliki bentuk umum Min f(x)

     st g₁(x) = 0; i = 1, 2, 3, ..., n

    [st : subject to (dengan syarat) ® kendala]

    Contoh :         

Min 3x₁² + 2x₂² + 4x₁x₂ – 6x₁ – 8x₂ + 6

s.t  x₁ + x₂ ≤ 1

    Penyelesaian

    Syarat perlu

              1)       

2)      x₁ + x₂ – 1 ≤ 0

3)      l (x₁ + x₂ – 1)= 0

4)      l ≥ 0

   Kemungkinan 1 : l = 0

 

Kemungkinan 2 : l ≥ 0

   Interpretasi

—  contoh 1 : l = 4 > 0    Þ kendalanya berpengaruh           

                                           x^*  =  terletak pada kendalanya

—  contoh 2 : l = 0          Þ kendalanya tidak berpengaruh

                                           x^* =  tidak pada kendala

                                                              Þ titik minimum tanpa kendala

 

 

Read More

Read More

RO

Read More

Read More